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TRPG討論區 => 研討區 => 5版 討論區 => 主题作者是: M551谢里登 于 2020-10-07, 周三 21:10:01

主题: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: M551谢里登 于 2020-10-07, 周三 21:10:01
今天突发奇想，对d20和d100的优势与劣势效果进行了暴力运算，并得出了一个仅供参考的期望数值，计算过程为：

分别对五千次的掷骰优劣势结果进行运算并取平均值，然后重复该过程24次并再取平均值，共计运算十二万次，得出最终的参考期望值。

(https://s1.ax1x.com/2020/10/07/0dw6SO.md.png)
(https://s1.ax1x.com/2020/10/07/0dwclD.png)
(https://s1.ax1x.com/2020/10/07/0dwsfK.png)

（最后一张图中的3d6优劣势是计算用于朋友基于3d6的原创规则的，总优势为两次3d6之和取高，分优势为两次3d6分别按第一第二第三次的骰值两两取高并合并）

运算结果如下：

d20优势期望值为13.82，劣势期望值为7.17，相较于10.5的期望值，优势相当于+3.3加值，劣势相当于-3.3减值

d100优势期望值为33.84，劣势期望值为67.12，相较于50.5的期望值，优势相当于-16.7的减值，劣势相当于+16.6的加值

加上对d2骰优势以及更多其他骰值的计算和分析，大约可以得出“优劣势会让最终期望值增减最大值的六分之一”的结论，即掷两次取高值会让期望值从50%变为67%，取低值则期望值从50%变为33%。

本人没有玩过COC，因此以下的讨论由DND规则出发。

此运算将优势带来的好处数值化了，可以提供一些优势与加值的取舍建议，我们在下面会对战技大师的“精准攻击”和“诡诈攻击”两个命中技能进行比较。

如果只是单纯的比较数值，“诡诈攻击”的优势所带来的+3.3加值明显是低于“精准攻击”d8战技骰的+4.5期望骰值的，再加之精准攻击骰子可在检定结果出来之后再使用的灵活性，依赖期望值的绝对平均主义者可以很轻松的做出选择。

这里再更进一步的分析优势的细节——大成功与大失败。

DND5E规则中，骰出20则可造成必定命中的重击，造成双倍骰值的伤害，而骰出1则会必定失手，在某些热衷于搞事的村规中，骰出1或20还会有更加不可控的情况发生。在变体规则中更是加入了大成功和大失败的技能检定，让5%的精彩意外变得乐趣纷呈。

而优势则提供了一个额外的能力——将大成功概率从5%提升至9.75%，而大失败概率从5%降低至0.25%，因此我们还要考虑大成功所带来的额外收益的情况。

我们假设这样一个对抗情境：己方攻击骰d20+3，可选使用精准攻击或诡诈攻击，攻击伤害为d9，敌方DC19。

此情境下不使用技能的命中率为25%，命中期望伤害为5，其中有5%的概率触发暴击造成双倍伤害10，则单次攻击造成的伤害期望值为1.5；（这个算法并不十分可靠，仅是作为参考）

若使用精准攻击，则命中率提升至47.5%，命中期望伤害为5，其中有5%的概率触发暴击造成双倍伤害10，则单次攻击造成的伤害期望值为2.625；

若使用诡诈攻击，则命中率提升至41.5%，命中期望伤害为5，其中有10%的概率触发暴击造成双倍伤害10，则单次攻击造成的伤害期望值为2.575,加上诡诈攻击带来的额外伤害加值则为4.8925。

可见在这样一个模拟的对抗高防御敌人的情境下，诡诈攻击可以凭借额外的伤害骰与更高的暴击概率配合实现更高的期望伤害。

上述的例子非常理想化而脱离现实，只能做一个简单的参考，但它仍然可以提示重要的一点：优势骰的更高暴击几率所带来的双倍伤害概率，是比单纯的命中加值更加立体的。对于无情的至圣斩机器等高伤害骰单位来说，优势骰的收益更是难以想象。

优势骰虽然失去了统计学意义上的常规优势，但是凭借着大成功大失败规则的极端情况所带来的重大收益可能，仍然具备与+4甚至+5加值一较高下的能力，对于那些满心暴击的赌狗玩家来说，可能没有什么比一个优势更香的了。

——什么？你说冠军勇士？哦不，放过我吧...



主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: Eric三丹 于 2020-10-07, 周三 21:14:24
我一直以为优势和+4差不多，原来纯数值还不到+4吗，绝了
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: 希尔 于 2020-10-07, 周三 22:08:02
模拟次数也太少了……

两个d20取高或低，均值数值解就 +-3.325。
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: M551谢里登 于 2020-10-07, 周三 22:17:03
引述: 希尔 于 2020-10-07, 周三 22:08:02
模拟次数也太少了……

两个d20取高或低，均值数值解就 +-3.325。

十二万次模拟还是不够多吗...因为概率学苦手不会用公式直接推算只能用这种暴力运算来进行了，原来的数据是精确到小数点后八位的，为了方便观察缩短到了小数点后两位
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: 立直 于 2020-10-08, 周四 05:41:14
从实际操作的角度谈几点

1.精准相对优势一个质的区别是精确投放 - 差1点就能命中时发动精准，那成功率就是铁打的100%。玩家只会在骰出低于AC1-8的时候才会考虑使用能力，单纯按照期待值来算的话并不完全准确。换句话说精准这个能力不适合拿来在一次攻击上论高下，还需要加一个时间的维度。短休之间时间越长越有效。

2.优劣势的效果随着敌人AC变化形成一种曲线关系，最极端的来说骰19都打不中的敌人优势只能堆暴击，而靠精准就可以把潜在的命中区间降到12-20。别看楼主用的19AC挺高，对-5+10的玩家而言19是等同于24的。

3.单纯从战士玩家的选择来说，每一个队友都有可能有稳定给团队造优势的手段，加命中的手段却除了祝福以外没有很多。祝福和精准可以叠，两份优势却不会叠而且还可能被敌人一个造劣全抹平。而且战技造优就只有一次，在优势能力中属于比较亏的，相比之下还是推荐独此一家的精准。

4.冠军勇士味还不够正，给我来一份精灵准冠军神射手谢谢。

话说我更好奇12万次在电脑上要跑多久，需要那种实验室里的电脑么
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 07:49:36
引述: 立直 于 2020-10-08, 周四 05:41:14
从实际操作的角度谈几点

1.精准相对优势一个质的区别是精确投放 - 差1点就能命中时发动精准，那成功率就是铁打的100%。玩家只会在骰出低于AC1-8的时候才会考虑使用能力，单纯按照期待值来算的话并不完全准确。换句话说精准这个能力不适合拿来在一次攻击上论高下，还需要加一个时间的维度。短休之间时间越长越有效。

2.优劣势的效果随着敌人AC变化形成一种曲线关系，最极端的来说骰19都打不中的敌人优势只能堆暴击，而靠精准就可以把潜在的命中区间降到12-20。别看楼主用的19AC挺高，对-5+10的玩家而言19是等同于24的。

3.单纯从战士玩家的选择来说，每一个队友都有可能有稳定给团队造优势的手段，加命中的手段却除了祝福以外没有很多。祝福和精准可以叠，两份优势却不会叠而且还可能被敌人一个造劣全抹平。而且战技造优就只有一次，在优势能力中属于比较亏的，相比之下还是推荐独此一家的精准。

4.冠军勇士味还不够正，给我来一份精灵准冠军神射手谢谢。

话说我更好奇12万次在电脑上要跑多久，需要那种实验室里的电脑么

确实，优势的广泛性和不可叠加性是一个很严重的减分项，我今天找时间再细化运算一次各种敌方DC和己方不同能力情况下的命中概率和期望伤害....

精灵准三倍优势的具体收益我再跑一次模拟也给一个量化数据出来......可恶啊为什么人人精灵准武士，你们精灵族没有别的能力吗，我今天就要打破三倍优势的神话（掀桌）

其实十二万次简单掷骰运算即便是对单片机也是很轻松的，在现代PC上不过是几秒钟的事，麻烦的是后续的数据处理与分析...
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: 食瓜人P 于 2020-10-08, 周四 12:02:22
三倍优势拜託了 :wub:
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: 雾雨路枫 于 2020-10-08, 周四 13:33:08
引述: 希尔 于 2020-10-07, 周三 22:08:02
模拟次数也太少了……

两个d20取高或低，均值数值解就 +-3.325。
文科生求教如何计算数值解 :em002
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: splay 于 2020-10-08, 周四 14:22:20
这种古典概型就能处理的概率问题高中就应该教过了吧...我尽量用人话描述一下如何计算这个概率。

拿D20的情况举个例子，常识告诉我们，如果骰子的质量没问题的话，每一面向上的概率是相同的，所以投出任何一个数字的概率都是1/20。因此D20的期望是(1 + 2 + ... + 19 + 20) / 20 = 10.5。
然后考虑有优势的情况，扔两个骰子取高。常识告诉我们，两个骰子的结果是独立的，因此在无论第一个骰子是哪一面向上，第二个骰子每一面向上的概率也是相同的。这就是说，对于所有的400种两个骰子投出数字的组合，它们出现的概率都是相同的，即1/400。所以有优势的D20的期望是(max(1, 1) + max(1, 2) + ... + max(1, 20) + max(2, 1) + max(2, 2) + ... +max(20, 20)) / 400。这个东西手算不太方便，可以直接用excel拉个表，或者会编程的话直接写个程序更快（但会编程的人大概也不需要我科普高中数学）。结果是13.825。因此有优势的D20的期望比D20的期望高13.825 - 10.5 = 3.325。

然后关于计算时间的问题，现代的个人计算机在1秒内能执行的指令数目是10亿这个数量级的，如果对随机数的随机性要求不太高的话，一秒生成1亿个随机数是完全能做到的，当然如果要把结果存下来的话就牵扯到硬盘读写的问题，会慢非常多。

我顺手算了一下有优势的D100的期望是67.165，比D100的期望高16.665。

我又算了一下，带优势的Dn其实也挺好算的，直接幂级数求和就没了。算出来结果是带优势的Dn的期望是(n + 1)(4n - 1) / (6n)。带入n = 20结果是13.825，带入n = 100结果是67.165。那我应该没有算错。那么再带入没有优势的Dn的期望是(1 + n) / 2，可以算出优势让Dn的期望增加了(n + 1)(4n - 1) / (6n) - (1 + n) / 2 = (n^2 - 1) / (6n) ≈ n / 6。所以lz观察数据发现的优势使骰子的期望结果增加1/6基本是准确的。

但事实上通过期望分析优势的价值是有问题的，因为优势改变了骰子的结果的概率分布。举一个简单的例子，不带优势的D20结果大于期望（即10.5）的概率是50%，但带优势的D20结果大于期望（即13.825）的概率是57.75%。很容易发现，对于敌人AC刚好等于自身期望攻击骰结果的条件下，带有优势的玩家更可能命中对手。但对于敌人AC高于自身期望攻击骰结果7点以上的情况，带优势的玩家不可能命中对手，但不带优势的玩家有15%的概率命中对手。简单的用+3.325代替D20上的优势会产生大量的问题。
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 20:56:38
(https://s1.ax1x.com/2020/10/08/00oHvF.png)

如各位所愿，对三倍优劣势的期望值进行了十五万次运算，得到的结果是：

d20三倍优势期望值为15.49，三倍劣势期望值为5.50，相较于10.5的期望值，优势相当于+4.99加值，劣势相当于-5.00减值。相较于13.82的双倍优势期望和7.17的三倍劣势期望，分别相当于额外的+1.67和-1.67的调整值。

可恶真的还挺强的.......精灵准这直接强化优势是真的彳亍

终于等到了大佬的数学公式证明，kksk，公式推理就是要比暴力运算来的实在，奈何我高数课都听到狗身上去了orz，所以仍然不能举一反三推算出三倍优势的运算公式...

将优势简单的换成加值确实是有肉眼可见的漏洞所在，在目标防御超出N20之后无论是几倍优势都将鞭长莫及，只有加值才能够得着边，所以我先盲猜一个命中概率的线性度只有在接近期望值的时候才最高，越靠近边缘则线性度降低越明显，可能整体呈一个U字形的状态。

我接下来会计算不同能力条件下攻击不同DC敌人的命中率变化，以及相关的伤害期望，在路上了咕咕咕。
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: 基洛伊 于 2020-10-08, 周四 21:25:15
引述: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 20:56:38
终于等到了大佬的数学公式证明，kksk，公式推理就是要比暴力运算来的实在，奈何我高数课都听到狗身上去了orz，所以仍然不能举一反三推算出三倍优势的运算公式...
将优势简单的换成加值确实是有肉眼可见的漏洞所在，在目标防御超出N20之后无论是几倍优势都将鞭长莫及，只有加值才能够得着边，所以我先盲猜一个命中概率的线性度只有在接近期望值的时候才最高，越靠近边缘则线性度降低越明显，可能整体呈一个U字形的状态。
我接下来会计算不同能力条件下攻击不同DC敌人的命中率变化，以及相关的伤害期望，在路上了咕咕咕。
然而这不是高数是普普通通的高中概率论内容
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: splay 于 2020-10-08, 周四 21:29:59
三倍优势的情况和两倍优势的情况基本是一样的，因为第三个骰子的值和前两个还是独立的，所以对于三个骰子的每一种可能的取值，概率都是(1 / 20) * (1 / 20) * (1 / 20)。
那么三倍优势的D20的期望就是 \frac{1}{8000}\sum_{i = 1}^{20} \sum_{j = 1}^{20} \sum_{k = 1}^{20} max(i, j, k) （请自行寻找在线LaTex公式编辑器翻译该公式，果园的回复不支持输入公式我也没办法）
写了代码计算得结果是15.4875。相对于不带优势的D20的期望增加了4.9875

带三倍优势的Dn的通项公式和带优势的Dn的通项公式算法差不多，枚举变量v以后计算有多少组(i, j, k)满足max(i, j, k) = v就行。满足条件的(i, j, k)组数是个关于v的多项式，直接幂级数求和既可求出通项公式。最后的结果是带三倍优势的Dn的期望是(3n^2 + 2n - 1) / (4n)。带三倍优势的Dn相对于无优势的Dn的期望增加了(3n^2 + 2n - 1) / (4n) - (1 + n) / 2 = (n^2 - 1) / (4n) ≈ n / 4。也就是说三倍优势大致可以让Dn的期望增加最大值的1/4。
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: splay 于 2020-10-08, 周四 21:32:50
引述: 基洛伊 于 2020-10-08, 周四 21:25:15
引述: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 20:56:38
终于等到了大佬的数学公式证明，kksk，公式推理就是要比暴力运算来的实在，奈何我高数课都听到狗身上去了orz，所以仍然不能举一反三推算出三倍优势的运算公式...
将优势简单的换成加值确实是有肉眼可见的漏洞所在，在目标防御超出N20之后无论是几倍优势都将鞭长莫及，只有加值才能够得着边，所以我先盲猜一个命中概率的线性度只有在接近期望值的时候才最高，越靠近边缘则线性度降低越明显，可能整体呈一个U字形的状态。
我接下来会计算不同能力条件下攻击不同DC敌人的命中率变化，以及相关的伤害期望，在路上了咕咕咕。
然而这不是高数是普普通通的高中概率论内容

算期望的通项公式的部分还用到了一点高中数列的内容，总体来说确实都是高中知识。
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 22:31:27
引述: splay 于 2020-10-08, 周四 21:32:50
引述: 基洛伊 于 2020-10-08, 周四 21:25:15
引述: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 20:56:38
终于等到了大佬的数学公式证明，kksk，公式推理就是要比暴力运算来的实在，奈何我高数课都听到狗身上去了orz，所以仍然不能举一反三推算出三倍优势的运算公式...
将优势简单的换成加值确实是有肉眼可见的漏洞所在，在目标防御超出N20之后无论是几倍优势都将鞭长莫及，只有加值才能够得着边，所以我先盲猜一个命中概率的线性度只有在接近期望值的时候才最高，越靠近边缘则线性度降低越明显，可能整体呈一个U字形的状态。
我接下来会计算不同能力条件下攻击不同DC敌人的命中率变化，以及相关的伤害期望，在路上了咕咕咕。
然而这不是高数是普普通通的高中概率论内容

算期望的通项公式的部分还用到了一点高中数列的内容，总体来说确实都是高中知识。

草了orz我是真的不记得高中概率论有教双骰值取高的计算公式了，看了一下式子发现是穷举400种骰值搭配并一一列出所有可能最终得出结果吗... :em012我真就全还给老师了
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: 基洛伊 于 2020-10-08, 周四 22:39:58
引述: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 22:31:27
引述: splay 于 2020-10-08, 周四 21:32:50
引述: 基洛伊 于 2020-10-08, 周四 21:25:15
引述: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 20:56:38
终于等到了大佬的数学公式证明，kksk，公式推理就是要比暴力运算来的实在，奈何我高数课都听到狗身上去了orz，所以仍然不能举一反三推算出三倍优势的运算公式...
将优势简单的换成加值确实是有肉眼可见的漏洞所在，在目标防御超出N20之后无论是几倍优势都将鞭长莫及，只有加值才能够得着边，所以我先盲猜一个命中概率的线性度只有在接近期望值的时候才最高，越靠近边缘则线性度降低越明显，可能整体呈一个U字形的状态。
我接下来会计算不同能力条件下攻击不同DC敌人的命中率变化，以及相关的伤害期望，在路上了咕咕咕。
然而这不是高数是普普通通的高中概率论内容
算期望的通项公式的部分还用到了一点高中数列的内容，总体来说确实都是高中知识。
草了orz我是真的不记得高中概率论有教双骰值取高的计算公式了，看了一下式子发现是穷举400种骰值搭配并一一列出所有可能最终得出结果吗... :em012我真就全还给老师了
准确来说期望的算法更接近20*最大20的概率+19*最大19的概率+……+1*最大1的概率
主题: Re: 关于优势/劣势的数据分析和相关比较
作者: M551谢里登 于 2020-10-08, 周四 23:29:40
单纯的命中概率结果出来了，很有意思...

(https://s1.ax1x.com/2020/10/08/0BuNYd.png)

(https://s1.ax1x.com/2020/10/08/0ButFH.png)

从敌人的DC为1的极端情况开始，由于大失败的5%概率无法被纯加值降低，无论是双倍还是三倍优势，在一开始都具备绝对的“基本绝不会大失败”优势，并在敌方DC递增的情况下持续保持领先。

而随着敌人DC的不断上升，稳定加值的威力逐渐显现，在敌人DC高达16-17的高难度情况下（鉴于这个数据同时减去了攻防双方的属性加值和熟练，16的DC已经很惊人了），优势骰的数值逐渐低落，不敌固定加值。

但是，在更加极端的情况——敌人DC高达22-23之后，由于常规命中已经不可能，攻击方只能依靠大成功来实现无视防御的绝对命中，优势骰的高大成功概率表现出了最后的保底能力，即便是面对神灵也有一战之力

最后总结一下得出结论....

低难度情况下，优势骰具有低失败概率的领先优势，而在高难度时，稳定加值的持久力会更加强大，但在仅能依靠大成功来实现命中的极端局面下，仍然是优势骰更胜一筹

明天来研究一下期望伤害值好了